技術士 過去問
平成29年度（2017年）
問13 (基礎科目「解析に関するもの」 問13)

F(i)の1次微分は、下記の通りとなります。
f’(i) ＝ {f(i+1) - f(i)} / Δ
f’(i-1) = {f(i) - f(i-1)} / Δ

したがって、f(i)の２次微分は、下記の通りとなります。
f’’(i) = {f’(i) – f’(i-1)} / Δ = {f(i+1) – 2f(i) + f(i-1)} / Δ^2

よって、答えは５となります。

d²u/dx²は関数uを2回微分したものになります。

まず、関数uを1回微分したdu/dxの場合、差分表現は(u_i+1-u_i)/h・・・（1）になります。

この差分表現に記載したu_iをさらに微分し差分表現する場合は
(1)のu_i+1と、u_iに(1)を代入します。

ただし、u_i+1と、u_iそれぞれに代入する(1)の添え字iは1づつずらして区別します。

以上より、d²u/dx²の差分表現は
｛（u_i+1-u_i)/h-(u_i-u_i-1)/h｝/hから
｛（u_i+1-u_i)-(u_i-u_i-1)｝/h²＝(u_i+1-2u_i+u_i-1)/h²となります。

したがって、5が正解となります。

一般的に関数F(i)の1次微分は、下記の通りとなります。

f’(i) ＝ {f(i+1) - f(i)} / Δ

f’(i-1) = {f(i) - f(i-1)} / Δ

さらに、F(i)の２次微分は、下記の通りとなります。

f’’(i) = {f’(i) – f’(i-1)} / Δ

= {f(i+1) – 2f(i) + f(i-1)} / Δ²

このことから、

F(i)=u_i

Δ=h

とすると

d²u/dx² = （u_i+1-2u_i+u_i-1）/h²

となります。

よって、答えは５となります。