技術士 過去問
平成30年度（2018年）
問15 (基礎科目「解析に関するもの」 問15)

逆行列を求める問題です。

逆行列を求めるには、①掃き出し法、②余因子を求める方法、があります。
行列数が大きくなってくると掃き出し法の方が有利ですが、3×3くらいであればどちらでもいいと思います。
本問題は掃き出し法でスムーズに解けるので、掃き出し法を用います。

掃き出し法：元の行列をA、単位行列をIとしたとき、[ A I ]の行列について行基本変形を行い、[ I B ]に変形します。
このBがAの逆行列となります。

＜ステップ1＞単位行列を右に並べる
1 0 0 1 0 0
a 1 0 0 1 0
b c 1 0 0 1
＜ステップ2＞1行目の-a倍を2行目に加える、1行目の-b倍を3行目に加える
1 0 0 1 0 0
0 1 0 -a 1 0
0 c 1 -b 0 1
＜ステップ3＞2行目の-c倍を3行目に加える
1 0 0 1 0 0
0 1 0 -a 1 0
0 0 1 ac-b -c 1

よってAの逆行列は、
　 1　 0　 0
　-a　 1　 0
ac-b　-c　1
となりますので、2が正解です。

逆行列を求める問題です。

3 × 3行列の逆行列を求めるには、「掃き出し法」を使って求めるのが簡単です。

［掃き出し法］

元の行列をA、単位行列をIとしたとき、[ A I ]の行列について行基本変形を行い、

[ I B ]に変形することで、Bを求めます。このＢがAの逆行列となります。

＜ステップ1＞

元の行列の右に単位行列を書き、3×6行列を作ります。

1 0 0 1 0 0

a 1 0 0 1 0

b c 1 0 0 1

＜ステップ2＞

1行目の-a倍を2行目に加えて、1行目の-b倍を3行目に加えます。

1 0 0 1 0 0

0 1 0 -a 1 0

0 c 1 -b 0 1

＜ステップ3＞

2行目の-c倍を3行目に加えます

1 0 0 1 0 0

0 1 0 -a 1 0

0 0 1 ac-b -c 1

そうすると左の3 × 3行列が単位行列となるため、

右の3 × 3行列がAの逆行列となります。

これより、

　 1　0　0

　-a　1　0

ac-b　-c　1

がＡの逆行列となります。

よって、2が正解です。

逆行列を求める問題です。

逆行列を求める方法は「掃き出し法」と「余因子を求める方法」とがありますが、本問題では「掃き出し法」を用いて逆行列を求めていきます。

「掃き出し法」とは元の行列をA、単位行列をIとしたとき、[ A I ]の行列について行基本変形を行い、[ I B ]に変形します。

このBがAの逆行列となります。

＜ステップ1＞

元の行列の右に単位行列を書き、3×6行列を作ります。

1 0 0 1 0 0

a 1 0 0 1 0

b c 1 0 0 1

＜ステップ2＞

1行目の-a倍を2行目に加えます。

1 0 0 1 0 0

0 1 0 -a 1 0

b c 1 0 0 1

＜ステップ3＞

1行目の-b倍を3行目に加えます

1 0 0 1 0 0

0 1 0 -a 1 0

0 c 1 -b 0 1

＜ステップ4＞

2行目の-c倍を3行目に加えます

1 0 0 1 0 0

0 1 0 -a 1 0

0 0 1 ac-b -c 1

そうすると左の3 × 3行列が単位行列となるため、

右の3 × 3行列がAの逆行列となります。

これより、

　 1　0　0

　-a　1　0

ac-b　-c　1

がＡの逆行列となります。

よって、正解は２です。