技術士 第一次 過去問
令和2年度（2020年）
問2 (基礎科目「設計・計画に関するもの」 問2)

標準偏差とは平均に対して乖離する確率を示したもので、その確率は分布の種類によって変わります。
正規分布の場合、標準偏差σは約68％になります。
例えば応力Sの平均10MPaに対して標準偏差σが1の場合、応力Sが9～11MPaの範囲になる確率は68％になります。
標準偏差σが2倍、すなわち平均からσ×２の範囲でばらつく場合の確率は95％であり、応力Sが8～12MPaの範囲になる確率です。
今回の問題では、Z＝R−Sが0を下回る確率Pr（Z＜0）が小さい順番に並んでいる組み合わせを問われています。
まず、平均だけで考えたZを見てみましょう

（ア）：14-10＝4
（イ）：13-10＝3
（ウ）：12-9＝3
（エ）：12-11＝1

上記で求めた差から、さらに応力Sと強度Rの標準偏差を差し引きます。

（ア）：4-（2√2＋1）=0.171573
（イ）：3-（1＋2√2）=-0.82843
（ウ）：3-（1＋√3）=0.267949
（エ）：1-（1＋1）=-1

Zが0を下回る確率Prが小さくなるのは残った数値が大きいものです。したがって、
4.の（ウ）→（ア）→（イ）→（エ）の順番が正解になります。

設計の基本となる数値統計の問題です。このような問題では、まず、問題文をしっかり読んだ上で、（ア）〜（エ）の項目を一つずつ丁寧に解き、それをPrが小さい順に並べ替えて解答します。

 

まず、Z＝R－Sの平均値を計算します。

（ア）14－10＝4
（イ）13－10＝3
（ウ）12－9＝3
（エ）12－11＝1

 

次に、Zの標準偏差を求めます。

応力Sと強度Rは互いに独立しているため、それぞれの標準偏差を2乗して足し、その平方根を求めます。

（ア）√（8＋1）＝3
（イ）√（1＋8）＝3
（ウ）√（1＋3）＝2
（エ）√（1＋1）＝√2

 

続いて、平均値の差を標準偏差で割ります。

（ア）4÷3≒1.33
（イ）3÷3＝1
（ウ）3÷2＝1.5
（エ）1÷√2≒0.71

 

この値が大きいほど、Zが0を下回る確率Pr（Z＜0）は小さくなります。

したがって、確率が小さい順は（ウ）→（ア）→（イ）→（エ）となります。

＜正解＞４

［解説］

数値統計に関する計算問題です。

Ｚ＝Ｒ－Ｓが０を下回る確率Pr（Ｚ＜０）

が小さい順番に並ぶµ_S、σ_S、µ_R、σ_Rの組合せ

を探していきます。

まず、Ｚを平均だけで計算すると、以下のとおりとなります。

（ア）：14-10＝4

（イ）：13-10＝3

（ウ）：12-9＝3

（エ）：12-11＝1

平均だけで計算した場合には、

Ｚ＜０とはならないことがわかります。

さらにここで求めた値から、

応力Sと強度Rの標準偏差を引くと

平均からのブレでＺ＜０となる可能性があるかどうかがわかります。

（ア）：4-（2√2＋1）=0.171573

（イ）：3-（1＋2√2）=-0.82843

（ウ）：3-（1＋√3）=0.267949

（エ）：1-（1＋1）=-1

となり、（イ）と（エ）では、

Ｚ＜０となる可能性が

（ア）と（ウ）よりも高いことが分かります。

Ｚ＜０となる確率Prが小さくなるのは、

ここでの数値が大きいもの（正の値のもの）が該当することになります。

よって、

（ウ）→（ア）→（イ）→（エ）の順番となり、４が正解になります。