技術士 過去問
令和4年度（2022年）
問18 (基礎科目「解析に関するもの」 問6)
問題文
図（ a ）に示すような上下に張力Tで張られた糸の中央に物体が取り付けられた系の振動を考える。糸の長さは2L、物体の質量はmである。図（ a ）の拡大図に示すように、物体の横方向の変位をxとし、そのときの糸の傾きをθとすると、復元力は2Tsinθと表され、運動方程式よりこの系の固有振動数faを求めることができる。同様に、図（ b ）に示すような上下に張力Tで張られた長さ4Lの糸の中央に質量2mの物体が取り付けられた系があり、この系の固有振動数をfbとする。faとfbの比として適切なものはどれか。ただし、どちらの系でも、糸の質量、及び物体の大きさは無視できるものとする。また、物体の鉛直方向の変位はなく、振動している際の張力変動は無視することができ、変位xと傾きθは微小なものとみなしてよい。 
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問題
技術士試験 令和4年度（2022年） 問18（基礎科目「解析に関するもの」 問6） （訂正依頼・報告はこちら）
図（ a ）に示すような上下に張力Tで張られた糸の中央に物体が取り付けられた系の振動を考える。糸の長さは2L、物体の質量はmである。図（ a ）の拡大図に示すように、物体の横方向の変位をxとし、そのときの糸の傾きをθとすると、復元力は2Tsinθと表され、運動方程式よりこの系の固有振動数faを求めることができる。同様に、図（ b ）に示すような上下に張力Tで張られた長さ4Lの糸の中央に質量2mの物体が取り付けられた系があり、この系の固有振動数をfbとする。faとfbの比として適切なものはどれか。ただし、どちらの系でも、糸の質量、及び物体の大きさは無視できるものとする。また、物体の鉛直方向の変位はなく、振動している際の張力変動は無視することができ、変位xと傾きθは微小なものとみなしてよい。
- fa：fb ＝ 1：1
- fa：fb ＝ 1：√2
- fa：fb ＝ 1：2
- fa：fb ＝ √2：1
- fa：fb ＝ 2：1
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この過去問の解説 （2件）
01
前提を整理します。
張力を T、片側の糸の長さを L（全長 2L）、中央の質点の質量を m とします。
小さな横振動では、左右の糸の復元力から有効バネ定数 k=2T/L とみなせるので、
角振動数は
ω=√(k/m)=√(2T/(mL))
したがって振動数は
f=ω/(2π)=(1/2π)√(2T/(mL)) です。
ケースa：m, L のとき
fa=(1/2π)√(2T/(mL))
ケースb：m→2m、L→2L のとき
fb=(1/2π)√(2T/((2m)(2L)))=(1/2π)√(2T/(4mL))
= (1/2)·(1/2π)√(2T/(mL)) = (1/2)fa
よって比は
fa：fb = fa：(1/2)fa = 2：1 となります。
本選択肢が正解です。
微分方程式で近似して求めるものですが、固有振動数の公式を覚えてください。
・「f=(1/2π)√(2T/(mL))」が公式です。
・m と L を同時に2倍にすると、分母が4倍になり振動数は1/2倍となります。
・比だけ知りたい場合、共通の 1/2π は消して考えると早いです。
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02
運動方程式に関する問題であり、この問題では単振動微分方程式 を用います。
これらから、右のような式が導かれます：：ｍ・d2 y/dt2 ＝ −(2T/L) y。
従って、振動数ωは√(2Ｔ/ｍＬ)となり、振動数 f は f=ω/(2π) です。
糸長は2Lで質量が2mですから（2×2＝4）、
f は 1/√(mL) に比例するので fb = (1/2)fa となります。
fa と fb の比としては 2：1 ですから、これが正解です。
単振り子の周期の問題は、これからも出題される可能性があるかと思います。
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