技術士 過去問
令和5年度（2023年）
問14 (基礎科目「解析に関するもの」 問2)
問題文
重積分の値は、次のどれか。ただし、領域Rを0≦x≦1，0≦y≦√（1−x2）とする。
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問題
技術士試験 令和5年度（2023年） 問14（基礎科目「解析に関するもの」 問2） （訂正依頼・報告はこちら）
重積分の値は、次のどれか。ただし、領域Rを0≦x≦1，0≦y≦√（1−x2）とする。
- π／3
- 1／3
- π／2
- π／4
- 1／4
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この過去問の解説 （3件）
01
重積分からの出題です。
様々な解き方がありますが、積分範囲が扇形なので極座標変換する方法をここでは提示します。
以上から本選択肢が正解です。
重積分のテクニックとして極座標変換は覚えて損はないと思います。
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02
この問題は、重積分の値を求める問題です。
領域Rは、x²＋y²≦1のうち、x≧0、y≧0の部分です。つまり、半径1の円の第1象限です。
まず、yについて積分します。
∫∫R x dxdy
＝∫0から1 ∫0から√（1−x²） x dy dx
xは、yについて積分するときは定数として扱います。
＝∫0から1 x√（1−x²） dx
ここで、u＝1−x² とおくと、du＝−2x dx です。
＝−1/2∫1から0 √u du
＝1/2∫0から1 √u du
＝1/2×2/3
＝1/3
本選択肢が正解です。
xとyを順番に積分していきます。
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03
重積分なので、実際に計算をして求める方法を採用します。
Xは0～1の範囲内ですので、
便宜的に0.1、0.3、0.5、0.7、0.9の値（計５点）で計算します。
0.1のとき、0.1
0.3のとき、0.29
0.5のとき、0.43
0.7のとき、0.5
0.9のとき、0.39となるので、
合計値1.71を５点として平均値を求めると0.34となります。
0.34となりますから、1/3である本選択肢が正解となります。
実際に数値（今回は0～1.0の範囲内）を入れて計算する方が早いと思います。
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