技術士 過去問
令和6年度（2024年）
問3 (基礎科目「設計・計画に関するもの」 問3)

等分布荷重を受ける片持ちばりに関する問題です。

【最大曲げ応力】

はりの最大曲げ応力σ_maxは以下の式で表されます。

　σ_max=M_max・y/I　（式１）

　ここで、

　M_maxは最大曲げモーメント

　yは断面の中立軸からの最遠点までの距離（ここでは円の半径d/2）

　Iは断面二次モーメント

また、円形断面の断面二次モーメントは以下の式で表されます。

　I＝πd⁴/64　（式２）

　ここで、

　dは円の直径

（式１）および（式２）から、最大曲げ応力度は、

　σ_max=64M_max/πd³

となり、最大曲げ応力は断面の円の直径の3乗に反比例します。

【最大たわみ】

片持ちばりの最大たわみσ_maxは以下の式で表されます。

　δ_max＝wL⁴/8EI　（式３）

　ここで、

　wは等分布荷重

　Lははりの長さ

　Eは弾性係数

　Iは断面二次モーメント

（式３）および（式２）から、最大たわみは、

　δ_max＝64wL⁴/8Eπd⁴＝8wL⁴/Eπd⁴

となり、最大たわみは断面の円の直径の4乗に反比例します。

構造力学に関する問題です．

等分布荷重を受ける想定の片持ばりについて，最大曲げモーメントをＭ_Maxと置く．

片持ばりの断面二次モーメントについて，直径をdとするとき，I＝πd⁴/64と表される．

中立軸から最上下面への距離は本問題の場合，断面の円の半径に相当するため，

最大曲げ応力σmax=Ｍ_Max/I×d/2

                     =Ｍ_Max/(πd⁴/64)×d/2

　　　　　　　　  =32M_max/πd³

上式より，最大曲げ応力は断面の円の直径の3乗に反比例することが分かります．

最大たわみY_max=wl⁴/8EIと表される．

ここでwは等分布荷重，Lははりの長さ，Eは縦弾性係数，Iは断面二次モーメント．

I＝πd⁴/64を代入し，Y_max=wl⁴/（πEd⁴/8)

                               =8wL⁴/πEd⁴

上式より，最大たわみは円の直径の4乗に反比例することが分かります．

片持ちばり（長さL）に一様分布荷重ｗ［Ｎ/m]が全域に作用し、断面が円（直径d)で材料のヤング率はＥとします。記号はすべてＳＩ単位系です。

1)最大曲げ応力

最大曲げ応力度は最大曲げモーメント（最大曲げ応力）を断面係数で除した値です。

片持張りの最大曲げモーメントはＭmax=wl^2/2ですので、断面係数を求めていきます。

円形断面の断面二次モーメント　Ｉ＝πd^4/64です。（導出方法はここでは省略します）

そして断面係数Z=I/c

ここで、ｃは中立軸から最外縁繊維までの距離です。円の半径はd/2ですので

Z=πd^4/64    /  d/2=πd^3/32

以上より、最大曲げ応力σmax=Mmax /Z=16wL^2/πd^3

よって、最大曲げ応力は断面の円の直径の（　三乗　）に（　半比例　）します。

2)最大たわみ

前提条件

はり：長さ L の片持ちばり（左端固定、右端自由）

荷重：等分布荷重 w[N/m] が全区間に作用

材料：ヤング率 E

断面：二次モーメント I

ここで座標 xを固定端からの距離とします。

荷重分布から自由端側の区間の合力 = w(L−x)

その合力の作用点までの距離 = (L−x)/2

よって、固定端から位置 x における曲げモーメントは

M(x)=−w(L−x)^2/2 

・はりの基礎式はEIv′′(x)=M(x)

v(x)：たわみ関数

v′′(x)：曲率近似（オイラー・ベルヌーイはり理論）

EIV''(x)を二回積分して、EIv(x)==−(w/24)​(L−x)^4−wL^3​x+C2​

固定端は変位ゼロ：v(0)=0を代入

C2=wL^4/24

自由端は x=L なのでEI⋅v(L)＝-wL^4/8

よってYmax=wl^4/8EI

ここで、円断面の断面二次モーメントI=πd^4/64を代入

Ymax=8wL^4/Eπd^4

よって最大たわみは断面の円の直径の（　四乗　）に（　半比例　）する。