技術士 過去問
令和6年度（2024年）
問14 (基礎科目「解析に関するもの」 問2)

本問題のポイントは、ベクトルの内積と外積です。

内積a・bは、|a||b|cosθとなるスカラー（方向を持たない値）、

外積a×bは、|a||b|sinθで、aとbに垂直なベクトル

で定義されます。ここで、θはaとbの成す角です。

本設問は、3次元空間において、原点を始点とする2つのベクトル a，b があり、b の大きさは |b|＝1（単位ベクトル）としています。a の終点から、b が定める「直線」への垂線を表すベクトルを求めるものです。。

ベクトル a を、b の方向成分とそれに垂直な成分に分解します。

　a＝ a∥＋a⊥

ここで、

　a∥：b 方向の成分（b に平行な成分）

　a⊥：b に垂直な成分（垂線ベクトル）

・ b 方向の成分

b は単位ベクトルなので、a を b 方向に射影した成分は次式で与えられます。

　a∥＝ ( a⋅b ) b

・ 垂直成分（求めたいベクトル）

垂線ベクトル a⊥は、a から平行成分を引いたものです。

　a⊥＝ a－a∥ ＝ a－( a⋅b ) b

これは、a の終点から b の定める直線へ下ろした垂線を表すベクトルになります。